19  Análise de Correspondência Múltipla (ACM)

A Análise de Correspondência Múltipla (ACM) é uma extensão da Análise de Correspondência Simples (ACS) para mais de duas variáveis categóricas. Nesta seção, vamos explorar a ACM através de dois exemplos práticos que ilustram as duas principais abordagens da técnica:

  1. ACM sobre a Tabela Indicadora: Ideal para conjuntos de dados menores, onde a visualização e interpretação dos indivíduos é tão importante quanto a das variáveis. Usaremos o conjunto de dados poison para ilustrar este caso.
  2. ACM com foco na Tabela de Burt: Adequada quando o foco principal é entender as associações entre as variáveis, ou quando a visualização dos indivíduos se torna impraticável. Usaremos o conjunto de dados tea para ilustrar esta abordagem.

Para as análises, usaremos os pacotes R FactoMineR para os cálculos e factoextra para as visualizações.

Código 
library(tidyverse)
library(FactoMineR)
library(factoextra)
library(patchwork)

19.1 Caso 1: ACM na Tabela Indicadora com o dataset poison

Esta abordagem é mais útil quando temos um número de observações pequeno o suficiente para que a interpretação da posição de cada indivíduo (ou de pequenos grupos de indivíduos) seja viável e informativa. Frequentemente, esse tipo de análise pode servir como um pré-processamento para uma análise secundária, como o agrupamento de indivíduos.

Vamos utilizar o conjunto de dados poison, disponível no pacote FactoMineR. Ele contém dados sobre 55 crianças que foram diagnosticadas com intoxicação alimentar. As variáveis registram os sintomas apresentados (Nausea, Vomiting, Diarrhoea, etc.) e os alimentos consumidos (Potato, Fish, Mayo, etc.). O objetivo é identificar perfis de sintomas e associá-los aos alimentos ingeridos.

Código 
data(poison)

# Transformar em tibble para melhor visualização
poison_df <- as_tibble(poison)

# Exibir as primeiras linhas e a estrutura
knitr::kable(head(poison_df))
# Verificar a estrutura dos dados (fatores)
str(poison_df)
tibble [55 × 15] (S3: tbl_df/tbl/data.frame)
 $ Age       : int [1:55] 9 5 6 9 7 72 5 10 5 11 ...
 $ Time      : int [1:55] 22 0 16 0 14 9 16 8 20 12 ...
 $ Sick      : Factor w/ 2 levels "Sick_n","Sick_y": 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 ...
 $ Sex       : Factor w/ 2 levels "F","M": 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 ...
 $ Nausea    : Factor w/ 2 levels "Nausea_n","Nausea_y": 2 1 1 1 1 1 1 2 2 1 ...
 $ Vomiting  : Factor w/ 2 levels "Vomit_n","Vomit_y": 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 ...
 $ Abdominals: Factor w/ 2 levels "Abdo_n","Abdo_y": 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 ...
 $ Fever     : Factor w/ 2 levels "Fever_n","Fever_y": 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 ...
 $ Diarrhae  : Factor w/ 2 levels "Diarrhea_n","Diarrhea_y": 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 ...
 $ Potato    : Factor w/ 2 levels "Potato_n","Potato_y": 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ...
 $ Fish      : Factor w/ 2 levels "Fish_n","Fish_y": 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 ...
 $ Mayo      : Factor w/ 2 levels "Mayo_n","Mayo_y": 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 ...
 $ Courgette : Factor w/ 2 levels "Courg_n","Courg_y": 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ...
 $ Cheese    : Factor w/ 2 levels "Cheese_n","Cheese_y": 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 ...
 $ Icecream  : Factor w/ 2 levels "Icecream_n","Icecream_y": 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ...
Tabela 19.1: Amostra dos dados do dataset poison.
Age Time Sick Sex Nausea Vomiting Abdominals Fever Diarrhae Potato Fish Mayo Courgette Cheese Icecream
9 22 Sick_y F Nausea_y Vomit_n Abdo_y Fever_y Diarrhea_y Potato_y Fish_y Mayo_y Courg_y Cheese_y Icecream_y
5 0 Sick_n F Nausea_n Vomit_n Abdo_n Fever_n Diarrhea_n Potato_y Fish_y Mayo_y Courg_y Cheese_n Icecream_y
6 16 Sick_y F Nausea_n Vomit_y Abdo_y Fever_y Diarrhea_y Potato_y Fish_y Mayo_y Courg_y Cheese_y Icecream_y
9 0 Sick_n F Nausea_n Vomit_n Abdo_n Fever_n Diarrhea_n Potato_y Fish_y Mayo_n Courg_y Cheese_y Icecream_y
7 14 Sick_y M Nausea_n Vomit_y Abdo_y Fever_y Diarrhea_y Potato_y Fish_y Mayo_y Courg_y Cheese_y Icecream_y
72 9 Sick_y M Nausea_n Vomit_n Abdo_y Fever_y Diarrhea_y Potato_y Fish_n Mayo_y Courg_y Cheese_y Icecream_y

As variáveis Age e Sex serão tratadas como suplementares, o que significa que elas não participarão da construção dos eixos fatoriais, mas serão projetadas no mapa para auxiliar na interpretação. Além delas, as variáveis binárias Sick e Sex também serão tratadas como suplementares. A variável Sick indica se o indivíduo foi diagnosticado com intoxicação alimentar. Ou seja, essa variável é importantíssima para a análise.

Código 
# Executar a ACM
# graph = FALSE evita que o gráfico padrão do FactoMineR seja plotado imediatamente
mca_poison <- MCA(poison, quanti.sup = 1:2, quali.sup = 3:4, graph = FALSE)

# O scree plot mostra a inércia de cada dimensão
# A linha vermelha indica a inércia média esperada se não houvesse associação
fviz_screeplot(mca_poison, 
    repel=TRUE, 
    addlabels = TRUE, 
    ggtheme = theme_minimal(), 
    ylim = c(0, 35)
)
Figura 19.1: Scree plot para a ACM do dataset poison. As dimensões acima da linha pontilhada são as mais relevantes.

O scree plot indica que a primeira dimensão captura a maior parte da informação, e está bem acima do limiar de inércia média. Vamos focar nossa análise majoritariamente nela.

O biplot é a principal ferramenta de visualização. Ele mostra as categorias e os indivíduos no mesmo mapa, permitindo identificar perfis.

Código 
# Criar o biplot de indivíduos e variáveis
fviz_mca_biplot(mca_poison, 
    repel = TRUE, # Evita sobreposição de texto
    ggtheme = theme_minimal(),
)
Figura 19.2: Biplot da ACM para o dataset poison. Indivíduos coloridos por presença de vômito.

Interpretação do Biplot:

O mapa revela uma estrutura clara, muitas vezes chamada de “efeito de tamanho” ou estrutura em V, comum quando há um grupo muito distinto (neste caso, os doentes vs. saudáveis).

  • Dimensão 1 (Eixo Horizontal): É o eixo da Saúde.
    • Polo Esquerdo: Agrupa todas as categorias de sintomas (Diarrhoea_sim, Fever_sim, Vomiting_sim, Nausea_sim) e o estado Sick_sim.
    • Polo Direito: Agrupa a ausência de sintomas e o estado Sick_nao.
    • Basicamente, este eixo separa as crianças doentes das saudáveis.
  • Dimensão 2 (Eixo Vertical): Diferencia nuances nos tipos de sintomas, mas é menos importante para a análise global.
    • Possui inércia significativamente menor que a primeira dimensão.
    • As variáveis mais importantes para definir os grupos de interesse (Sick_y/Sick_n) não estão fortemente associadas a este eixo.

Os gráficos de contribuição e qualidade (cos²) confirmam a importância das variáveis na definição dos eixos.

Código 
# Gráfico de contribuições para a Dimensão 1
p1 <- fviz_contrib(mca_poison, "var", axes = 1, top = 10)

# Gráfico de contribuições para a Dimensão 2
p2 <- fviz_contrib(mca_poison, "var", axes = 2, top = 10)

# Combinar os gráficos
p1 + p2
Figura 19.3: Contribuições das categorias para as Dimensões 1 e 2 (dataset poison).

A análise sobre a tabela indicadora permite ver essa estrutura “Doente vs Saudável” como a principal fonte de variação nos dados.

DicaDica: O Efeito Guttman (Ferradura)

Em análises de correspondência, é comum observar uma disposição dos pontos em forma de parábola ou ferradura (Horseshoe effect). Isso geralmente indica que a primeira dimensão é dominante e representa um gradiente latente forte (como “gravidade da doença” ou “tempo”), e a segunda dimensão é uma função quadrática da primeira. Se isso ocorrer, a interpretação deve focar principalmente na ordem ao longo da curva.

19.1.1 Agrupamento de Indivíduos (HCPC)

Uma extensão natural da ACM é o agrupamento (clustering) dos indivíduos. Como a ACM transforma as variáveis categóricas em coordenadas numéricas, podemos usar essas coordenadas para calcular distâncias entre indivíduos e agrupa-los.

O pacote FactoMineR oferece a função HCPC (Hierarchical Clustering on Principal Components) para isso.

Código 
# Realizar o agrupamento hierárquico sobre os resultados da ACM
res_hcpc <- HCPC(mca_poison, nb.clust = 3, graph = FALSE)

# Visualizar os clusters no mapa da ACM
fviz_cluster(res_hcpc,
             repel = TRUE,            # Evitar sobreposição
             show.clust.cent = TRUE,  # Mostrar o centroide de cada grupo
             palette = "jco",         # Paleta de cores
             ggtheme = theme_minimal(),
             main = "Agrupamento Hierárquico (HCPC) sobre ACM")
Figura 19.4: Dendrograma e mapa de fatores com os clusters identificados.

Fica como tarefa ao leitor identificar os clusters e interpretar sua significância.

19.2 Caso 2: ACM com foco na Tabela de Burt com o dataset tea

Quando o número de indivíduos é grande (centenas ou milhares), o biplot de indivíduos se torna um borrão de pontos impossível de interpretar. Nesses casos, o foco da análise muda: em vez de analisar perfis de indivíduos, buscamos entender a estrutura de associações entre as variáveis.

Essa abordagem é conceitualmente ligada à Tabela de Burt, que é uma matriz de todas as tabelas de contingência de duas vias entre as variáveis. A ACM na tabela indicadora é matematicamente equivalente a uma Análise de Correspondência Simples (ACS) na tabela de Burt, e o mapa de variáveis resultante é o mesmo (com ajuste na escala).

Vamos usar o dataset tea, também do FactoMineR, que contém respostas de 300 indivíduos sobre seus hábitos de consumo de chá. Para facilitar a interpretação, vamos selecionar apenas 6 variáveis-chave que capturam os principais aspectos do comportamento de consumo:

Código 
data(tea)

# Selecionar apenas 5 variáveis-chave para facilitar interpretação:
# - Tea: tipo de chá preferido (black, green, Earl Grey)
# - How: como prepara (tea bag, unpackaged, etc)
# - how: forma de beber (alone, milk, lemon, etc)  
# - where: onde compra (tea shop, chain store)
# - price: importância do preço (p_unknown, p_variable, p_branded, etc)
tea_ativa <- tea[, c("Tea", "How", "how", "where", "price")]

head(as_tibble(tea_ativa)) |>
  knitr::kable()
# Ver resumo das categorias
summary(tea_ativa)
        Tea         How                      how     
 black    : 74   alone:195   tea bag           :170  
 Earl Grey:193   lemon: 33   tea bag+unpackaged: 94  
 green    : 33   milk : 63   unpackaged        : 36  
                 other:  9                           
                                                     
                                                     
                  where                 price    
 chain store         :192   p_branded      : 95  
 chain store+tea shop: 78   p_cheap        :  7  
 tea shop            : 30   p_private label: 21  
                            p_unknown      : 12  
                            p_upscale      : 53  
                            p_variable     :112
Tabela 19.2: Amostra dos dados selecionados do dataset tea.
Tea How how where price
black alone tea bag chain store p_unknown
black milk tea bag chain store p_variable
Earl Grey alone tea bag chain store p_variable
Earl Grey alone tea bag chain store p_variable
Earl Grey alone tea bag chain store p_variable
Earl Grey alone tea bag chain store p_private label

O dataset tea original contém 18 variáveis ativas. Para este exemplo, selecionamos apenas 5 variáveis-chave por razões pedagógicas:

  1. Interpretabilidade: Com menos variáveis, o mapa de categorias fica mais limpo e fácil de interpretar
  2. Foco: As variáveis escolhidas (Tea, How, how, where, price) capturam os principais aspectos do comportamento de consumo
  3. Demonstração: Facilita a visualização dos conceitos fundamentais da ACM via Tabela de Burt

Em uma análise real de mercado, você usaria todas as variáveis relevantes disponíveis.

Com 300 indivíduos, plotar pontos individuais seria inviável. Nosso objetivo é mapear as associações entre hábitos de consumo.

A seguir, visualizamos a tabela de Burt para o dataset tea. Ela nada mais é do que o cruzamento de todas as variáveis com todas as variáveis. Matematicamente, a Tabela de Burt é \(\mathbf{B} = \mathbf{Z}'\mathbf{Z}\), onde \(\mathbf{Z}\) é a matriz indicadora.

Código 
# Executar a ACM sobre a tabela indicadora
mca_tea <- MCA(tea_ativa, graph = FALSE)

# A função MCA internamente utiliza a matriz indicadora,
# mas podemos extrair ou calcular a tabela de Burt

# Criar matriz indicadora manualmente para demonstração
library(FactoMineR)
tea_matrix <- tab.disjonctif(tea_ativa)

# Calcular a tabela de Burt (Z'Z)
burt_table <- t(tea_matrix) %*% tea_matrix

# Visualizar a estrutura da tabela de Burt como heatmap
library(pheatmap)
pheatmap(burt_table, 
         display_numbers = FALSE,
         cluster_rows = FALSE, 
         cluster_cols = FALSE,
         color = colorRampPalette(c("white", "steelblue", "darkblue"))(50),
         main = "Tabela de Burt - Dataset Tea",
         fontsize = 7,
         border_color = "grey90")
Figura 19.5: Visualização da estrutura da Tabela de Burt para o dataset tea. Células mais escuras indicam maior frequência de co-ocorrência entre categorias.

Interpretação da Tabela de Burt:

A tabela de Burt é uma matriz simétrica de dimensão \(J \times J\) (onde \(J\) é o total de categorias), construída como \(\mathbf{B} = \mathbf{Z}'\mathbf{Z}\). Sua estrutura é organizada em blocos:

  • Blocos na diagonal: Contêm as frequências marginais de cada categoria (diagonal dentro de cada bloco indica quantos indivíduos têm aquela característica)
  • Blocos fora da diagonal: Mostram as co-ocorrências entre categorias de variáveis diferentes - essas são as associações que buscamos explorar!

O que o heatmap revela:

Observando o padrão de cores (células escuras = alta frequência de co-ocorrência):

  1. Blocos bem definidos: Há regiões com concentrações claras de cor escura, sugerindo que certas combinações de hábitos são muito comuns. Por exemplo, categorias relacionadas a consumo prático (tea bag, supermercados) co-ocorrem frequentemente entre si.

  2. Estrutura de blocos: A matriz não é uniforme - há “blocos escuros” indicando clusters de categorias que tendem a aparecer juntas, separados por regiões mais claras que indicam associações fracas ou negativas.

  3. Simetria: Como esperado, a matriz é perfeitamente simétrica (a co-ocorrência de A com B é igual à de B com A), o que facilita a interpretação visual.

A ACM que executaremos a seguir decompõe essa tabela complexa de co-ocorrências em dimensões interpretáveis, permitindo visualizar os padrões em um espaço de baixa dimensão.

19.2.1 ACM e Interpretação da Inércia

Agora executamos a ACM propriamente dita e analisamos a decomposição da inércia:

Código 
# O scree plot mostra a inércia de cada dimensão
fviz_screeplot(mca_tea, 
               addlabels = TRUE, 
               ggtheme = theme_minimal(),
               ylim = c(0, 20))
Figura 19.6: Scree plot para a ACM do dataset tea. A linha pontilhada vermelha representa o limiar de inércia média (critério de Benzécri).

Interpretação do Scree Plot:

Como esperado em ACM, as porcentagens de inércia explicada parecem baixas à primeira vista. A primeira dimensão explica cerca de 15% da inércia total, e a segunda explica 12.1%. Isso NÃO significa que a análise é ruim! É uma característica intrínseca da ACM sobre a matriz indicadora.

Análise dos autovalores:

  • Com 5 variáveis ativas, a inércia média esperada sob independência seria \(1/Q = 1/5 = 0.20\) (ou 20%)
  • As primeiras 2-3 dimensões têm autovalores claramente acima desse limiar, indicando que capturam estrutura real (não apenas ruído)
  • O “cotovelo” no gráfico ocorre após a segunda dimensão, sugerindo que as duas primeiras são suficientes para capturar os principais padrões de associação
  • As dimensões posteriores mostram decréscimo gradual, típico de variação de fundo

Conclusão: Apesar das porcentagens aparentemente baixas, as duas primeiras dimensões são altamente significativas pelo critério de Benzécri. Juntas, capturam os principais eixos de variação nos hábitos de consumo de chá.

NotaParticularidade da Inércia na ACM

Como discutido na Seção 11.7, a inércia total na ACM via matriz indicadora é fixa e depende do número de variáveis e categorias: \(\text{Inércia Total} = \frac{J - Q}{Q}\), onde \(J\) é o total de categorias e \(Q\) o número de variáveis.

Com 5 variáveis e 19 categorias totais, temos inércia total “estrutural” que dilui as porcentagens. O critério de Benzécri corrige essa distorção: uma dimensão é informativa se seu autovalor > \(1/Q\) (neste caso, > 0.20 ou 20%). Isso nos diz que devemos focar na magnitude relativa dos autovalores (acima vs. abaixo da média), não nas porcentagens absolutas.

19.2.2 Mapa de Categorias e Interpretação das Associações

Com 300 indivíduos, plotar todos os pontos seria inviável. Vamos focar exclusivamente no mapa de categorias, que nos permite entender a estrutura de associação entre as variáveis:

Código 
# Plotar apenas as variáveis (categorias), coloridas por qualidade de representação
fviz_mca_var(mca_tea, 
             repel = TRUE,
             ggtheme = theme_minimal(),
             col.var = "cos2",  # Cor por qualidade de representação
             gradient.cols = c("#00AFBB", "#E7B800", "#FC4E07"),
             title = "Mapa de Categorias - ACM Dataset Tea")
Figura 19.7: Mapa de categorias (ACM) para o dataset tea. A cor indica a qualidade de representação (cos²) de cada categoria no plano.

Interpretação do Mapa de Categorias:

O mapa revela a estrutura de associação entre os hábitos de consumo de chá dos 300 respondentes. As cores indicam a qualidade de representação (cos²): categorias em vermelho/laranja estão bem representadas no plano e podem ser interpretadas com confiança; categorias em azul têm parte de sua variabilidade em dimensões superiores.

19.2.3 Dimensão 1 (Eixo Horizontal): Local de Compra e Tipo de Produto

Este é o principal eixo de diferenciação, separando consumidores por onde compram e que tipo de chá consomem:

LADO ESQUERDO (valores negativos):

  • chain store (supermercados/redes): Bem representado (cor laranja/vermelha)
  • tea bag (sachês): Posicionado próximo a chain store
  • Interpretação: Consumidores que compram sachês em supermercados - perfil de conveniência e praticidade

LADO DIREITO (valores positivos):

  • tea shop (lojas especializadas): Bem representado (cor vermelha)
  • unpackaged (chá a granel): Fortemente associado a tea shop
  • Interpretação: Apreciadores que buscam chás de qualidade em lojas especializadas - perfil de conhecedor

Associação chave: chain store + tea bag vs. tea shop + unpackaged são perfis opostos, confirmando dois segmentos distintos de mercado.

19.2.4 Dimensão 2 (Eixo Vertical): Tipo de Chá e Consistência de Perfil

A segunda dimensão diferencia os consumidores quanto ao tipo de chá preferido e consistência do comportamento:

PARTE SUPERIOR (valores positivos fortes):

  • green (+0.92): Chá verde
  • tea shop (+1.29), unpackaged (+1.06): Reforçam a associação com chá verde
  • Interpretação: Perfil consistente de consumidores que preferem chá verde, geralmente comprado a granel em lojas especializadas, consumido puro

PARTE INFERIOR (valores negativos fortes):

  • p_variable (-0.73): Preço variável/“depende”
  • tea bag+unpackaged (-0.98): Combinação de categorias opostas
  • chain store+tea shop (-1.27): Compra em ambos os canais
  • other (-1.80): Outro tipo de chá (não especificado)
  • Interpretação: Comportamentos inconsistentes ou mistos - consumidores que não têm um perfil bem definido, misturam canais e formatos, ou não se encaixam nas categorias principais

Significado da dimensão: Separa consumidores com perfil bem definido (extremos) de consumidores com comportamento misto/variável (centro e parte inferior)

19.2.5 Perfis de Consumidor e Implicações Estratégicas:

A ACM revelou dois segmentos principais claramente separados pela Dimensão 1:

1. Perfil “Premium/Conhecedor” (lado direito do mapa):

  • Onde compra: Lojas especializadas (tea shop)
  • Tipo de chá: A granel (unpackaged)
  • Características: Bem representados no mapa (cor vermelha), indicando comportamento consistente
  • Estratégia: Valoriza qualidade e variedade. Marketing deve enfatizar origem, tipos especiais, experiência de compra

2. Perfil “Prático/Conveniência” (lado esquerdo do mapa):

  • Onde compra: Supermercados (chain store)
  • Tipo de chá: Sachês (tea bag)
  • Características: Bem representados no mapa (cor laranja), comportamento consistente
  • Estratégia: Valoriza praticidade e disponibilidade. Marketing deve enfatizar conveniência, custo-benefício

3. Categorias com baixa qualidade de representação (próximas à origem, cor azul):

  • Algumas categorias de how (forma de preparo) e Tea (tipo de chá específico)
  • Interpretação: Estas variáveis têm perfis relativamente homogêneos entre os consumidores, não sendo fortes diferenciadores de segmentos
  • Sua variabilidade pode estar em dimensões superiores ou simplesmente ser menor

Insights acionáveis:

  • A escolha do canal de venda (especializado vs. supermercado) e formato do produto (granel vs. sachê) definem a segmentação primária
  • Estes dois atributos estão fortemente correlacionados: quem compra em tea shops prefere unpackaged, e vice-versa
  • Estratégias de distribuição e precificação devem ser diferenciadas para cada segmento
  • O segmento premium é menor mas potencialmente mais lucrativo; o segmento prático tem maior volume mas margens menores

19.2.6 Sumário da Análise

A ACM revelou insights claros sobre a estrutura do mercado de chá:

Principais descobertas:

  1. Segmentação em dois perfis distintos:
    • Perfil “Premium”: Compra em lojas especializadas (tea shop), prefere chá a granel (unpackaged), disposto a pagar mais (p_upscale)
    • Perfil “Prático”: Compra em supermercados (chain store), usa sachês (tea bag), mais sensível a preço
  2. Associações validadas:
    • tea shop + unpackaged + p_upscale formam um cluster coerente (consumidor premium)
    • chain store + tea bag formam o cluster de conveniência
    • Estas associações foram identificadas empiricamente nos dados de 300 consumidores
  3. Duas dimensões de diferenciação:
    • Dimensão 1 (principal): Local de compra e formato do produto (tea shop+unpackaged vs. chain store+tea bag)
    • Dimensão 2 (secundária): Tipo de chá e forma de consumo (chá verde puro vs. chá preto com aditivos)
    • O perfil premium no quadrante superior direito combina: loja especializada + chá a granel + chá verde
    • Marketing deve considerar ambas dimensões: canal de distribuição E tipo de produto oferecido